Hoppa till sidinnehåll
Favorit

Making Sense of Negative Numbers

Publicerad:2011-02-15
Uppdaterad:2012-03-27
Författare

Cecilia Kilhamn

Handledare

Professor Berner Lindström och Fil. Dr. Ola Helenius

Opponent

Jeppe Skott

Disputerat vid

Göteborgs universitet

Disputationsdag

2011-03-03

Titel (eng)

Making Sense of Negative Numbers

Institution

Institutionen för didaktik och pedagogisk profession

Abstrakt

Hur läraren och läroboken i matematik använder språket och olika metaforer (bilder/liknelser)för tal i undervisningen visar sig vara avgörande för hur elever utvecklar sin taluppfattning. När talområdet utvidgas från naturliga tal till positiva och negativa tal stöter elever på tal som inte på ett självklart sätt kan ses som antal. Tal som inte är antal är svåra att förstå, och kan upplevas både meningslösa och obegripliga. Då behöver läraren och läroboken vara väldigt tydliga och konsekventa i sitt språkbruk. Avhandlingen belyser hur elevernas svårigheter med att förstå negativa tal ofta liknar de svårigheter som matematiker haft under historiens gång, vilket tyder på att bättre kunskap om matematikhistoria skulle ge större förståelse för elevers problem. Oviljan att acceptera negativa tal hänger nära samman med vår önskan att kunna konkretisera det som är abstrakt och förstå dessa tal i termer av till exempel skulder eller temperaturer. Många av de konkreta förklaringsmodeller som används i skolmatematiken kan dock inte hantera subtraktioner, multiplikationer eller divisioner med negativa tal. Därför behövs en övergång till ett mer tydligt matematiskt språk när talområdet utvidgas från naturliga tal till tal med tecken(positiva och negativa tal), och en klassrumsdiskurs som belyser olika sätt att tänka. Varje konkret exempel på hur man kan förstå ett negativt tal är bara ett specialfall, medan talet i sig är abstrakt och en generalisering av alla specialfall.Studien är en longitudinell fallstudie där elever i en skolklass följts under tre års tid, från årskurs 6 till 9. Resultaten visar att elevers förmåga att acceptera och finna mening i negativa tal är beroende av hur väl utvecklad deras taluppfattning av naturliga tal är. Insikter såsom att kunna se 0 som ett tal och inte enbart en representation av ingenting, att förstå hur subtraktion fungerar och att kunna hantera tallinjen är viktiga förkunskaper inför mötet med negativa tal. En annan avgörande faktor är hur tydlig lärare och lärobok är i sina förklaringar. En storrisk är att de förklaringsmodeller som används övergeneraliseras eller skapar motsägelser. En elev som förstår negativa tal som skulder kan få stora problem med att subtrahera en skuld från en inkomst (5 – -6) eller multiplicera två skulder (-5 · -6). Tal kan metaforiskt ses som antal, som punkter, sträckor eller rörelser, som konstruerade objekt, och som relationer. Ingen enskild metafor för tal kan fullt ut göra negativa tal begripliga. Det blir därför viktigt att flera metaforer används och att även metaforernas brister och begränsningar blir tydliga i undervisningen, samt att ett logiskt matematiskt resonerande också används parallellt med konkretiserande modeller. Vissa aspekter av negativa tal får sin mening av den matematiska strukturen snarare än av en konkret modell.Studien belyser även en del problem som har att göra med att det matematiska språket som används i svensk skolundervisning är en smula tvetydigt eller bristfälligt. Exempelvis görs ingen åtskillnad på subtraktion av talet x och det negativa talet x om båda omnämns som minus x . Det saknas också ett ord i det svenska språket som motsvarar engelskans signed number , alltså tal med ett tecken. I svenska läroböcker introduceras negativa tal utan att det blir tydligt att alla de naturliga talen därmed förändras och blir positiva. En annan svårighet är de negativa talens storlek som har två motstridiga egenskaper, i matematiken åtskilda genom att man separerar absolutbelopp från värde (ett stort negativt tal har ett mindre värde än ett litet negativt tal). Denna åtskillnad behöver bli tydlig också för elever.

Making Sense of Negative Numbers

Numbers are abstract objects that we conceptualize and make sense of through metaphors. When negative numbers appear in school mathematics, some properties of number sense related to natural numbers become contradictory. The metaphors seem to break down, making a transition from intuitive to formal mathematics necessary. The general aim of this research project is to investigate how students make sense of negative numbers, and more specifically what role models and metaphorical reasoning play inthat process. The study is based on assumptions about mathematics as both a social and an abstract science and of metaphor as an important link between the social and the cognitive. It is an explorative study, illuminating the complexity of mathematical thinking and the richness of the concept of negative numbers. The empirical data were collected over a period of three years, following one Swedish school class being taught by the same teacher, using recurrent interviews, participant observations and video recordings. Conceptual metaphor theory was used to analyse teaching and learning about negative numbers. In addition to the four grounding metaphors for arithmetic described in the theory, a metaphor of Number as Relation is suggested as essential for the extension of the number domain. Different metaphors give different meanings to statements such as finding the difference between two numbers, and result in incoherent mappings onto mathematical symbols. The analyses show affordances but also many constraints of the metaphors in their role as tools for sense making. Stretching metaphors, from the domain of natural numbers to fit the domain of signed numbers, changes the metaphor, with unfamiliarity, inconsistency and limited applicability as a result. This study highlights the importance of understanding limitations and conditions of use for different metaphors, something that is not explicitly brought up during the lessons or in the textbook in the study. Findings also indicate that students are less apt to make explicit use of metaphorical reasoning than the teacher. Although metaphors initially help students to make sense of negative numbers, extended and inconsistent metaphors can create confusion. This suggests that the goal to give metaphorical meaning to specific tasks with negative numbers can be counteractive to the transition from intuitive to formal mathematics. Comparing and contrasting different metaphors could give more insight to the meaning embodied in mathematical structures than trying to fit the mathematical structure into any particular embodied metaphor. Participants in the study showed quite different learning trajectories concerning their development of number sense. Problems that students had were often related to similar problems in the historical evolution of negative numbers, suggesting that teachers and students could benefit from deeper knowledge of the history of mathematics. Students with a highly developed number sense for positive numbers seemed to incorporate negatives more easily than students with a poorly developed numbers sense, implying that more time should be spent on number sense issues in the earlier years, particularly with respect to subtraction and to the number zero.

 

Forskningsbevakningen presenteras i samarbete med

forskningsinstitutet Ifous

Läs mer
Stockholm

Specialpedagogik i grundskolan

Välkommen till Skolportens fortbildning för dig som möter elever i behov av stöd i grundskolan. Välj om du vill delta i Stockholm eller digitalt! Ta del av den senaste forskningen om bland annat AI och framtidens digitala skola, neurodiversitet och hur vi implementerar ett specialpedagogiskt förhållningssätt i hela verksamheten.
Läs mer & boka
Åk F–9
7–8 maj
Digital temaföreläsning

Arbeta mot hedersrelaterat våld och förtryck i skolan

Skolportens digitala föreläsning med Issis Melin, för dig som vill lära dig mer om arbete mot hedersrelaterat våld och förtryck i skolan. Föreläsningen fokuserar på hur elevhälsoteamet kan identifiera hedersrelaterade beteenden, samt hjälpa utsatta elever att komma ur sin situation. Ta del av denna föreläsning mellan 22 april–5 juni!
Läs mer & boka
Åk F–Gy
22 apr – 5 jun
Dela via: 

Relaterade artiklar

Relaterat innehåll

Senaste magasinen

Läs mer

Nyhetsbrev